الاعداد النسبية | شرح الاعداد النسبية بالتفصيل والعمليات الحسابية عليها مع الأمثلة

الاعداد النسبية | شرح الاعداد النسبية بالتفصيل والعمليات الحسابية عليها مع الأمثلة

15 Dec 2022
بنك المعرفة دقائق.نت
رابط مختصر
للمشاركة لـ فيسبوك
حجم الخط

الاعداد النسبية هي عبارة عن أرقام بصورة الكسر؛ أي تتكون من بسط ومقام ويجب أن يكون طرفيها أرقام صحيحة موجبة بشرط ألا يكون المقام صفر.

ويرمز للعدد النسبي ن= أ/ ب بحيث يكون أ هو البسط وب هو المقام، كما يجب أن تكون الصيغة العشرية لها منتهية أو دورية.

الجدير بالذكر رجوع اكتشاف الاعداد النسبية إلى عصور ما قبل التاريخ حيث وجدت في كتابات المصريين والهنود والبابليين، وكان أول من درس العدد النسبي فيثاغورث والخوارزمي وابن الهيثم.

معلومات عن الاعداد النسبية

يمكن القول أنه لايوجد رقم مشترك بين طرفي الاعداد النسبية بخلاف رقم1، وتعتبر الأرقام التي نستخدمها في أغلب الأوقات هي أرقام نسبية.

ويكون ذلك بخلاف الأعداد الغير نسبية فهي ليست كسرًا؛ من أمثلتها الجذور التربيعية لرقم ليس له جذر صحيح، والرقم العشري اللامنتهي مثال 0.5582458415.

يكون العدد النسبي موجبًا في حالة أن البسط والمقام لهم نفس الإشارة، ويكون العدد النسبي سالبًا في حالة إختلاف الإشارة بين البسط والمقام.

الجدير بالذكر وجود علاقة بين أنواع الأعداد والاعداد النسبية حيث نجد أن الأعداد النسبية تشتمل على الأعداد الحقيقية، والتي تشتمل على الأعداد الصحيحة التي تشتمل على الأعداد الطبيعية.

الأعداد الصحيحة أعداد نسبية

إن الأعداد الصحيحة بأكملها نسبية؛ فأي رقم صحيح يعد بسطًا فمقامه يكون رقم1 وإليكم أمثلة على ذلك:

العدد الصحيح 2 مكون من البسط رقم 2 والمقام 1 ويكتب 2/1.

العدد الصحيح -2 يتكون من البسط -2 والمقام رقم 1 ويكتب -2/1.

أيضًا الرقم الصحيح 0 يكون البسط 0 المقام 1 ويكتب 0/1.

الأعداد النسبية والكسور

إن الكسر معناه بسط ومقام بمعنى أ/ ب وفي حالة أن البسط والمقام صحيحان والمقام ب رقم لايساوي0 فهذا معناه أن الكسور نسبية، ونشرح ذلك بالأمثلة فيما يلي

3 و1/8 هو عدد كسري يمكن تحويله إلى عدد نسبي بعد أن نحوله إلى كسر ليكون 25/8؛ وهو من الاعداد النسبية لأن البسط والمقام أعداد صحيحة والمقام لايساوي 0.

أما إن كان العدد الكسري 12/0؛ فهذا ليس من الاعداد النسبية لأن المقام يساوي 0 ويكون ناتجه رقم غير معرف.

أيضًا الكسر 3/ π بالرغم من أنه كسر ومقامه ليس 0 إلا أنه لا يمثل عدد نسبي لأنπ عدد غير نسبي.

علاقة الاعداد النسبية بالكسر العشري

يكون الكسر العشري عدد نسبي في حالة أن يكون منتهي أو دوري وبهذا يكتب في صورة بسط ومقام، ونشرح ذلك بالأمثلة فيما يلي

1.4 كسر عشري وهو من الاعداد النسبية في نفس الوقت؛ حيث يمكن كتابته 1.4/1 وفي حالة استخدام عملية الضرب في 10/10 يصبح الناتج 14/10 وهذا عدد نسبي فالبسط والمقام صحيحان والمقام لايساوي 0.

العدد 4.444 هو كسر عشري دوري وهو عدد نسبي؛ فيمكن التعبير عنه في صورة بسط ومقام 4 و1/4، ثم يتحول إلى 10/4 والكسر عدد نسبي.

وبهذا نكون قد أوضحنا أن الأعداد الغير نسبية تكون كالتالي:

العدد النيبيري

يرمز له ه‍، وهو عبارة  عن الكسور العشرية اللامنتهية مثل الرقم 0.77555885868.

الرقم π

فهو من الكسور العشرية اللامنتهية مثل 3/π.

بعض الجذور التربيعية والتكعيبية

فهي محاولة إيجاد ناتج جذر تربيعي لرقم، وتكون إجابته كسر لامنتهي مثل الجذر التكعيبي لرقم 2.

والجذور ليست دائمًا غير نسبية؛ حيث يمكن إيجاد جذر تربيعي للرقم 4 وهو 2 وهو عدد صحيح.

كما أن عملية ضرب رقمين غير نسبيين تكون نتيجتها عدد نسبي، ومثال لهذا الجذر التربيعي للعدد 2 مضروبًا في الجذر التربيعي للعدد 2 تكون إجابته 2 وهذا من الاعداد النسبية

شرح الاعداد النسبية بالتفصيل

العمليات الحسابية على الاعداد النسبية

أصبح الآن إجراء كافة العمليات الحسابية على الاعداد النسبية أمرًا بسيطًا؛ لأن العدد النسبي مثله مثل أي عدد آخر يمكن استخدام عملية الجمع، الطرح، الضرب والقسمة معه، وذلك بعد تعلم أساسيات العدد النسبي وكل ما يخصه، وتتم هذه العمليات بالطرق التالية:

جمع أعداد نسبية

يمكن إتمام عملية جمع عددين نسبيين أو أكثر بكل بساطة، ولكن بشرط أن يكون مقام الأعداد متساوي وذلك يكون من خلال جمع بسط الأعداد مع بعضها، أما المقام فيكون كما هو>

مثال على ذلك فيما يلي:

5/4 + 7/4 + 6/4 ويكون الناتج بتثبيت المقام 4 وجمع 6+7+5 ليكون الناتج 18/4.

طرح أعداد نسبية

عملية الطرح تتشابه مع عملية الجمع تمامًا في تثبيت المقام ويتم ذلك بطرح البسطين من بعضهما البعض، وذلك مثل الآتي

5/4 – 2/4 والناتج سيكون بتثبيت الرقم 4 وهو المقام وطرح 5-2 ليكون الناتج 3/4.

ضرب أعداد نسبية

ضرب الاعداد النسبية أمر بسيط وذلك من خلال ضرب كلًا من البسط× البسط والمقام× المقام وتكون الإجابة حاصل ضرب البسطين/ حاصل ضرب المقامين.

مثال لذلك:

2/3 × 3/3 = 6/9 وليس شرطًا في الضرب توحيد المقامات.

قسمة أعداد نسبية

تحتاج عملية قسمة عددين نسبيين إلى طريقة خاصة ويكون ذلك بترك الكسر الأول ثابتًا.

أما الكسر الثاني فيتم قلبه فيكون بسطه مقامه ومقامه بسطه بعدها تحول علامة الضرب إلى علامة القسمة؛ ونعتبرها عملية ضرب أعداد نسبية عادية من خلال حاصل ضرب البسطين/ حاصل ضرب المقامين.

ومثال على هذا فيما يلي:

4/5 ÷ 5/3 فنحولها إلى 4/5 × 3/5 = 12/25.

خصائص الاعداد النسبية

يمكننا تخليص أهم الخصائص الخاصة ب الاعداد النسبية فيما يلي

أولًا عند ضرب العدد النسبي في أي رقم صحيح ماعدا الصفر فالعدد النسبي يبقى كما هو دون حدوث أي تغيير في قيمته؛ فضرب هذا العدد هو مضاعفة لأرقام العدد النسبي سواء البسط أو المقام وعند تبسيطه سيعود كما كان.

مثال على ذلك حاصل ضرب العدد الصحيح 2×2/4 العدد النسبي يساوي4/8، ثم نحتاج إلى تبسيط الناتج ليصبح مرة أخرى 2/4.

ثانيًا عند قسمة العدد النسبي على رقم صحيح ماعدا رقم0 يبقى العدد النسبي كما هو ولا يتغير، مثال على ذلك ناتج قسمة6/15÷3=⅖ وما هو إلا عدد نسبي.

ثالثًا ناتج العمليات الحسابية الثلاثة(الضرب والطرح والجمع) لايمكن أن يكون عدد غير نسبي.

رابعًا عملية الجمع في الأعداد النسبية تكون من خلال جمع بسطي العددين النسبيين والمقام يبقى بنفس القيمة ولا يتغير مطلقًا؛ بشرط أن يكون المقام موحد.

رابعًا عند تربيع ناتج الجذر التربيعي تكون النتيجة عدد نسبي موجب.

خامسًا حاصل ضرب الجذرين يكون الناتج عدد نسبي أيضًا، مثلًا عند ضرب جذر2×جذر3 يكون الناتج جذر6.

سادسًا الصورة القياسية للعدد النسبي هي أن يكون العامل المشترك بين أطراف العدد النسبي رقم1.

سابعًا الاعداد النسبية عند جمعها أو طرحها فإن النتائج لا يمكن أن تكون أعداد نسبية؛ إلا في حالة واحدة إذا كانت إشارة العددين غير متشابهة مثال على ذلك -π+π فالإجابة ستكون 0 وهو رقم نسبي.

أسئلة عن الاعداد النسبية

السؤال الأول

حدد الكسر النسبي والغير نسبي من بين الكسور التالية مع ذكر السبب

7/8 الإجابة هو من الاعداد النسبية حيث وجود رقم صحيح في البسط ورقم صحيح في المقام والمقام ليس0.

0/0 الإجابة هو من الأعداد الغير نسبية؛ حيث يحتوي مقام الكسر على الرقم0.

-3 الإجابة هو من الاعداد النسبية؛ حيث يمكن كتابته على صورة كسر ويكون-3/1.

0 الإجابة هو عدد نسبي؛ حيث يمكن كتابته على شكل كسر ليكون0/1.

السؤال الثاني

اكتب العدد النسبي الموجود ما بين العددين النسبيين 1/5و4/9.

تكون الإجابة من خلال معرفة الوسط الحسابي للعددين وذلك بخطوتين نشرحهم فيما يلي

الخطوة الأولى يتم جمع 1/5+4/9 ليكون الناتج 29/45.

الخطوة الثانية يقسم الناتج على رقم2ليكون الناتج 29/90؛ وهو الرقم النسبي بين العددين المذكورين.

رابط مختصر
للمشاركة لـ فيسبوك

موضوعات متعلقة

التعليقات (0)

يجب عليك .. تسجيل الدخول أو التسجيل لتتمكن من التعليق.

تعليقات الفيسبوك